Comment trouver l'aire d'un segment circulaire

L'un des problèmes géométriques courants consiste à calculer l'aire d'un segment circulaire - la partie d'un cercle délimitée par un accord et l'accord correspondant d'un arc de cercle.

L'aire du segment circulaire est égale à la différence entre l'aire du secteur circulaire correspondant et l'aire du triangle formé par les rayons du segment correspondant du secteur et l'accord délimitant le segment.

Exemple 1

La longueur de l'accord contractant un cercle est égale à la valeur de a. La mesure du degré de l'arc correspondant à l'accord est de 60 °. Trouvez l'aire du segment circulaire.

Solution

Un triangle formé de deux rayons et d'un accord est isocèle, donc la hauteur tracée du haut de l'angle central vers le côté du triangle formé par l'accord sera également la bissectrice de l'angle central, en la divisant par deux et la médiane, en divisant l'accord par deux. Sachant que le sinus de l'angle dans un triangle rectangle est égal au rapport du côté opposé à l'hypoténuse, nous pouvons calculer le rayon:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

L'aire du secteur correspondant à un angle donné peut être calculée par la formule suivante:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

L'aire du triangle correspondant au secteur est calculée comme suit:

S ▲ = 1/2 * ah, où h est la hauteur tracée du haut de l'angle central à l'accord. Par le théorème de Pythagore, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

En conséquence, S ▲ = √3 / 4 * a².

L'aire du segment, calculée comme Sseg = Sc - S ▲, est égale à:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

En substituant une valeur numérique au lieu de a, vous pouvez facilement calculer la valeur numérique de la zone de segment.

Exemple 2

Le rayon du cercle est égal à a. La mesure du degré de l'arc correspondant au segment est de 60 °. Trouvez l'aire du segment circulaire.