Comment résoudre des systèmes d'équations

Il n'est pas difficile de résoudre le système d'équations en utilisant les méthodes de base pour résoudre les systèmes d'équations linéaires: la méthode de substitution et la méthode d'addition.

Manuel d'instructions

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Considérons des méthodes pour résoudre un système d' équations en utilisant un exemple d'un système de deux équations linéaires ayant deux valeurs inconnues. En termes généraux, un tel système s'écrit comme suit (à gauche, les équations sont combinées avec une accolade):

hache + b = c

dx + ey = f, où

a, b, c, d, e, f sont les coefficients (nombres spécifiques), et x et y, comme d'habitude, sont inconnus. Les nombres a, b, c, d sont appelés les coefficients des inconnues, et c et f sont appelés termes libres. La solution à un tel système d'équations est trouvée par deux méthodes principales.

La solution du système d'équations par la méthode de substitution.

1. Nous prenons la première équation et exprimons l'une des inconnues (x) en termes de coefficients et l'autre inconnue (y):

x = (s-by) / a

2. Remplacez l'expression obtenue pour x dans la deuxième équation:

d (c-by) / a + ey = f

3. En résolvant l'équation résultante, nous trouvons l'expression pour y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Remplacez l'expression résultante pour y par l'expression pour x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Exemple: vous devez résoudre un système d'équations:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Trouvez la valeur de x dans la première équation:

x = (2y + 4) / 3

Remplacez l'expression résultante dans la deuxième équation et obtenez une équation avec une variable (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, d'où nous obtenons:

y = 1

Maintenant, nous substituons la valeur trouvée de y dans l'expression à la variable x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Réponse: x = 2, y = 1.

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La solution du système d'équations par la méthode de l'addition (soustraction).

Cette méthode se réduit à multiplier les deux côtés des équations par des nombres (paramètres) de sorte que, par conséquent, les coefficients d'une des variables coïncident (éventuellement avec le signe opposé).

Dans le cas général, les deux côtés de la première équation doivent être multipliés par (-d) et les deux côtés de la deuxième équation par a. En conséquence, nous obtenons:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

En additionnant les équations résultantes, on obtient:

-bdu + aeu = -cd + af, d'où l'on obtient l'expression de la variable y:

y = (af-cd) / (ae-bd), en substituant l'expression à y dans n'importe quelle équation du système, on obtient:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

à partir de cette équation, nous trouvons la deuxième inconnue:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Un exemple. Résolvez le système d'équations en ajoutant ou en soustrayant:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Multipliez la première équation par (-1) et la seconde par 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

En additionnant (terme par terme) les deux équations, on obtient:

11y = 11

Où trouvons-nous:

y = 1

Nous substituons la valeur obtenue pour y dans l'une des équations, par exemple, dans la seconde, nous obtenons:

3x + 9 = 15, d'où

x = 2

Réponse: x = 2, y = 1.