Comment résoudre des équations avec des racines
Vidéo: Résoudre une équation avec racine carré x=2+√x à l'aide du second degré - Première S ES STI 2024, Juillet
Parfois, dans les équations, il y a un signe de la racine. Il semble à de nombreux étudiants qu'il est très difficile de résoudre de telles équations «avec des racines» ou, plus correctement, des équations irrationnelles, mais ce n'est pas le cas.
Manuel d'instructions
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Contrairement à d'autres types d'équations, par exemple, les systèmes d'équations quadratiques ou linéaires, il n'y a pas d'algorithme standard pour résoudre des équations avec des racines, ou plus précisément, des équations irrationnelles. Dans chaque cas particulier, il est nécessaire de sélectionner la méthode de solution la plus appropriée en fonction de "l'apparence" et des caractéristiques de l'équation.
L'élévation de parties de l'équation au même degré.
Le plus souvent, pour résoudre des équations avec des racines (équations irrationnelles), l'élévation des deux côtés de l'équation au même degré est utilisée. En règle générale, à un degré égal au degré de la racine (carré pour racine carrée, cube pour racine cubique). Il convient de garder à l'esprit que lors de l'élévation des côtés gauche et droit de l'équation à un degré égal, il peut avoir des racines «supplémentaires». Par conséquent, dans ce cas, il faut vérifier les racines obtenues en les substituant dans l'équation. Une attention particulière dans la résolution des équations avec des racines carrées (paires) doit être accordée à la plage de valeurs admissibles de la variable (ODZ). Parfois, l'estimation de l'ODL seule suffit à résoudre ou à simplifier considérablement l'équation.
Un exemple. Résolvez l'équation:
√ (5x-16) = x-2
Nous plaçons les deux côtés de l'équation:
(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², d'où l'on obtient successivement:
5x-16 = x²-4x + 4
h²-4x + 4-5x + 16 = 0
h²-9x + 20 = 0
En résolvant l'équation quadratique obtenue, nous trouvons ses racines:
x = (9 ± √ (81-4 * 1 * 20)) / (2 * 1)
x = (9 ± 1) / 2
x1 = 4, x2 = 5
En substituant les deux racines trouvées dans l'équation originale, nous obtenons l'égalité correcte. Par conséquent, les deux nombres sont des solutions de l'équation.
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Méthode pour introduire une nouvelle variable.
Parfois, il est plus pratique de trouver les racines d'une «équation avec les racines» (une équation irrationnelle) en introduisant de nouvelles variables. En fait, l'essence de cette méthode est simplement réduite à un enregistrement plus compact de la solution, c'est-à-dire au lieu d'écrire une expression volumineuse à chaque fois, elle est remplacée par une légende.
Un exemple. Résolvez l'équation: 2x + √x-3 = 0
Vous pouvez résoudre cette équation en mettant au carré les deux côtés. Cependant, les calculs eux-mêmes sembleront plutôt lourds. Avec l'introduction d'une nouvelle variable, le processus de décision se révélera beaucoup plus élégant:
Nous introduisons une nouvelle variable: y = √ x
Ensuite, nous obtenons l'équation quadratique ordinaire:
2y² + y-3 = 0, avec variable y.
En résolvant l'équation résultante, nous trouvons deux racines:
y1 = 1 et y2 = -3 / 2, en substituant les racines trouvées dans l'expression à la nouvelle variable (y), on obtient:
√ x = 1 et √ x = -3 / 2.
Puisque la valeur de la racine carrée ne peut pas être un nombre négatif (si vous ne touchez pas la zone des nombres complexes), nous obtenons la seule solution:
x = 1.