Comment calculer l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs

Sur deux vecteurs non colinéaires et non nuls, un parallélogramme peut être construit. Ces deux vecteurs contracteront un parallélogramme si vous combinez leur origine à un moment donné. Terminez les côtés de la figure.

Manuel d'instructions

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Trouvez les longueurs des vecteurs si leurs coordonnées sont données. Soit, par exemple, le vecteur A ayant des coordonnées (a1, a2) dans le plan. Alors la longueur du vecteur A est | A | = √ (a1² + a2²). De même, on retrouve le module du vecteur B: | B | = √ (b1² + b2²), où b1 et b2 sont les coordonnées du vecteur B sur le plan.

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La zone de parallélogramme est trouvée par la formule S = | A | • | B | • sin (A ^ B), où A ^ B est l'angle entre les vecteurs donnés A et B. Le sinus peut être trouvé par le cosinus en utilisant l'identité trigonométrique de base: sin²α + cos²α = 1. Le cosinus peut être exprimé en termes de produit scalaire de vecteurs écrits en coordonnées.

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Le produit scalaire d'un vecteur A par un vecteur B est noté (A, B). Par définition, il est égal à (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Et en coordonnées, le produit scalaire s'écrit comme ceci: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. De là, nous pouvons exprimer le cosinus de l'angle entre les vecteurs: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Au numérateur, le produit scalaire; au dénominateur, les longueurs des vecteurs.

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Nous pouvons maintenant exprimer le sinus à partir de l'identité trigonométrique principale: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Si nous supposons que l'angle α entre les vecteurs est aigu, le moins avec le sinus peut être écarté, ne laissant que le signe plus, car le sinus de l'angle aigu ne peut être que positif (ou zéro à un angle nul, mais ici l'angle est non nul, cela est affiché dans la condition non colinéarité des vecteurs).

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Maintenant, nous devons remplacer l'expression de coordonnées pour le cosinus dans la formule de sinus. Après cela, il ne reste plus qu'à écrire le résultat dans la formule de la zone de parallélogramme. Si tout cela est fait et que l'expression numérique est simplifiée, alors il s'avère que S = a1 • b2-a2 • b1. Ainsi, l'aire du parallélogramme construite sur les vecteurs A (a1, a2) et B (b1, b2) est trouvée par la formule S = a1 • b2-a2 • b1.

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L'expression résultante est le déterminant de la matrice composée des coordonnées des vecteurs A et B: a1 a2b1 b2.

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En effet, pour obtenir un déterminant d'une matrice de dimension deux, il faut multiplier les éléments de la diagonale principale (a1, b2) et en soustraire le produit des éléments de la diagonale latérale (a2, b1).