Comment résoudre des équations trigonométriques

Les équations trigonométriques sont des équations qui contiennent les fonctions trigonométriques d'un argument inconnu (par exemple: 5sinx-3cosx = 7). Pour savoir comment les résoudre, vous devez connaître certaines méthodes pour cela.

Manuel d'instructions

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La solution à de telles équations se compose de deux étapes.

Le premier est la transformation de l'équation pour obtenir sa forme la plus simple. Les équations trigonométriques les plus simples sont les suivantes: Sinx = a; Cosx = a etc.

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La seconde est la solution de l'équation trigonométrique la plus simple obtenue. Il existe des méthodes de base pour résoudre des équations de ce type:

Solution par la méthode algébrique. Cette méthode est bien connue de l'école, avec un cours d'algèbre. Dans un autre nom, la méthode de substitution de variable et de substitution. En utilisant les formules de réduction, nous transformons, faisons un remplacement, puis trouvons les racines.

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Factorisation de l'équation. Tout d'abord, transférez tous les termes vers la gauche et factorisez-les.

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Apporter l'équation à une équation homogène. Les équations homogènes sont appelées équations si tous les membres du même degré et sinus, cosinus du même angle.

Pour le résoudre, vous devez: d'abord transférer tous ses membres du côté droit vers le côté gauche; mettre tous les facteurs communs hors des crochets; égaliser les facteurs et les parenthèses à zéro; des parenthèses égales donnent une équation homogène d'un degré moindre, qui devrait être divisée en cos (ou sin) à un degré supérieur; résoudre l'équation algébrique résultante pour le bronzage.

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La méthode suivante est la transition vers le demi-coin. Par exemple, résolvez l'équation: 3 sin x - 5 cos x = 7.

Aller au demi-angle: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) - 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) = 7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2), après quoi nous réduisons tous les termes en une partie (de préférence à droite) et résolvons l'équation.

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L'introduction de l'angle auxiliaire. Lorsque nous remplaçons la valeur entière cos (a) ou sin (a). Le signe "a" est un angle auxiliaire.

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La méthode de conversion d'une œuvre en somme. Ici, vous devez utiliser les formules appropriées. Par exemple, étant donné: 2 sin x sin 3x = cos 4x.

Nous le résolvons en convertissant le côté gauche en une somme, c'est-à-dire:

cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

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Cette dernière méthode, appelée substitution universelle. Nous transformons l'expression et faisons un remplacement, par exemple, Cos (x / 2) = u, après quoi nous résolvons l'équation avec le paramètre u. Dès réception du résultat, nous traduisons la valeur en sens inverse.